Fraktálok

A fraktálok önhasonló, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek részeiben legalább egy ismétlődés tapasztalható, ami matematikai eszközökkel leírható. Az önhasonlóság azt jelenti, hogy a  struktúra egy részét kinagyítva, a felnagyított rész ugyanolyan stuktúrát mutat, mint a nagyobb rész. Ez nem azt jelenti, hogy ugyanolyan, hanem azt, hogy ugyanazokkal a matematikai sorozatokkal írhatók le.

Fraktálokat mindenki látott már. Ilyen pl. a levél erezete, a hópehely, a faágak. Ha megvizsgáljuk ezeket a példákat akkor láthatjuk, hogy ha egyre kisebb részeit vizsgáljuk, akkor is ugyanolyan struktúrájú ábrákat kapunk. Számítógéppel könnyedén modellezhetőek fraktálok, ezek általában szép, szines, ábrák a legkülönfélébb alakzatokkal. Ilyen programok letölthetők az internetről, melyekkel bárki alkothat gyönyörű fraktálokat matematikai háttérismeret nélkül.

A fraktál elnevezés "törtrész"-t jelent, mely tört-dimenziókra utal. Tudjuk, hogy az 1 dimenzió az egyenes, a 2 dimenzió a sík. A fraktálgörbék az 1 és 2 dimenzió közti törtdimenzió, amely azt jelöli, hogy a görbe mennyire, milyen arányban tölti ki a síkot.

A fraktálokat először Mandelbrot lengyel fizikus írta le, róla nevezték el az általa felfedezett Mandelbrot-halmazt, mely a legismertebb fraktál.
A Mandelbrot-halmaz azon pontok halmaza, melyet az alábbi konvergens rekurzív sorozat jelöl:

xn = c
xn+1 = (xn)^2 + c

ahol c komlpex szám. (A komplex számok valós és képzetes részből állnak, c = a + bi, ahol a valós rész, b a képzetes, tehát a valós számokhoz még társul egy kiegészítő rész, ettől lesz komplex szám. Ezek ábrázolásához speciális koordináta rendszer szükséges).

Ha c helyére 1-et írunk és 3-mal indítjuk a sorozatot, akkor a sorozatunk első elemei így fognak kinézni: 10, 101, 10202... Tehát ez nem Mandelbrot-halmaz, mert a végtelenbe tart a sorozat. Ha 1/2-ről indítjuk a sorozatot, akkor viszont a sorozat már 0-hoz konvergál: 1/4, 1/16, 1/256... Ez a legegyszerűbb Mandelbrot-halmaz.